Tugas Permutasi dan Kombinasi dengan Python

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi (Permutations)

Permutasi adalah pengaturan urutan penyusunan sekumpulan objek unik (tidak mengandung duplikasi); Permutasi dari sekumpulan n objek dapat diformulasikan sebagai faktorial dari n.

$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times(n-3) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$

Kasus khusus:

0! = 1

Permutasi: contoh

Bisa dipecahkan menggunakan perhitungan faktorial

Berapa banyak kemungkinan cara untuk melakukan pengurutan angka pada baris pertama?

$\begin{equation} \begin{split} 9! &= 9\times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\\ &= 362,880 \end{split} \end{equation}$

Permutasi: formula

Permutasi pada pengaturan urutan penyusunan sejumlah r objek yang diambil dari sekumpulan n objek unik dapat diformulasikan sebagai berikut

$_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

$r \le n$

Permutasi: contoh

Empat puluh tiga orang mengikuti lomba lari tingkat kecamatan.

Berapa banyak kemungkinan posisi untuk juara pertama, kedua, dan ketiga yang dapat terbentuk?

$n=43\\ r=3$ n = total jumlah keseluruhan objek

r = otal jumlah objek yang akan diambil

P = permutasi

$\begin{equation} \begin{split} _{43}P_{3} &= \frac{43!}{(43-3)!}\\ &= \frac{43!}{40!}\\ &= \frac{43 \times 42 \times 41 \times 40! }{40!}\\ &= 74,046\end{split} \end{equation}$ Fundamental Counting Principle?

Permutasi: dengan duplikasi

Permutasi yang melibatkan kemunculan beberapa kali objek sejenis dapat diformulasikan sebagai berikut

$\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times n_3! \times \dots \times n_k!}$

$n_1 + n_2 + n_3 + \dots + n_k = n$

Permutasi: contoh

Semisal kita dihadapkan pada sekumpulan deret huruf sebagai berikut: AAAABBC

Berapa banyak cara untuk melakukan pengurutan deret huruf tersebut?

$n_A=4\\ n_B=2\\ n_C=1$

$\begin{equation} \begin{split} \frac{n!}{n_A! \times n_B! \times n_C!} &= \frac{7!}{4! \times 2! \times 1!}\\ &= \frac{7\times 6 \times 5}{2}\\ &= 105 \end{split} \end{equation}$

Kombinasi (Combinations)

Kombinasi adalah pemilihan sejumlah r objek dari sekumpulan n objek tanpa memperhatikan urutan.

$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)! \times r!}$

$r \le n$ C = kombinasi

Kombinasi: contoh

Suatu proyek pembangunan bendungan menyelenggarakan lelang untuk menunjuk 4 perusahaan pengembang. Terdapat 16 perusahaan pengembang yang berpartisipasi dalam proses lelang.

$n=16\\ r=4$